MAKALE

Yayın Tarihi: 2 Mar 2014 | Batuhan Kav

0

OK, TEKER ve ÇAY YAPRAKLARI İLE BİLİMSEL PARADOKSLARA GİRİŞ

Paradokslar, görünüşte doğru olan öncüllerden oluşan önermelerin çelişkili sonuçlar vermesi ile ortaya çıkar. Daha çok mantık ve matematikte rastladığımız paradoksların pek çok örneğine bilim dünyasında da rastlayabiliriz. Bu ve devamındaki yazılarda, tarihten günümüze ortaya çıkmış bilimsel paradokslardan bahsedeceğim.

Tanım olarak karmaşık ve anlaşılması güç olabilse de, paradoksları anlamanın en güzel yollarından bir tanesi, onları görmektir. Aşağıdaki videoya bir göz atalım.

Günlük hayatta sıkça karşılaştığımız bir durumun videoya kaydedilmiş halini izlediniz. Bir bardak çay alıyorsunuz, onu karıştırıyorsunuz ve sonrasında çay yapraklarının bardağın dibinde ve ortasında toplandığını görüyorsunuz. Tamamen alışıldık bir durum bu.

Peki şimdi, ben size sorsam; dönmekte olan cisimlere “merkezkaç kuvveti”nin etki ettiğini, yani cisimlerin merkezden çeperlere doğru savrulduğunu biliyoruz. Çay ile beraber çay yaprakları da dönmekte olduğuna göre, neden yapraklar bardağın etrafında değil de ortasında toplanıyor? Bir çelişki yok mu burada?

Yukarıdaki örnek, Türkçesi ile çelişki, yanıltmaç dediğimiz paradokslara basit bir örnek. Görünüşte doğru olan öncüllerden yola çıkarak bir sonuca vardım, fakat vardığım sonuç gözlemlediklerimle tamamen zıt! Sorun nerede? Öncüllerim mi yanlış? Yoksa yanlış gözlem mi yaptım? Bu çelişkiyi nasıl çözebilirim? Dahası, ben neden yanlış şeylerden bir yazıda bahsedeyim ve sizlere paradoksların ne olduklarını anlatmaya çalışayım?

Bu soru cümbüşünün yanıtlarını teker teker vermeye çalışayım. Çay yaprakları örneğinde, öncüllerim tamamen doğru, fakat eksikler. Dönmekte olan sıvıya etki eden diğer pek çok etmeni gözardı ettim. Öte yandan, yaptığım gözlem de tamamen doğru. Evet, yapraklar merkezde toplanıyor. Başka karşılaşacağımız örneklerde de, çelişkilerin içinden çıkmamızı sağlayan şeylerin başında, doğru gözüken öncüllerin ya yanlış, ya da eksik olduklarını göstermemiz gerekiyor.

Paradoksları, daha özel olaraksa bilimsel paradoksları bu yazının konusu haline getirenler ise öncelikle onların çok ilginç ve şaşırtıcı olmaları (bence) fakat daha önemlisi bilimsel fikirlerin gelişmesi ve teorilerin düzeltilmesinde çok önemli rol oynamaları.

Şöyle bir sıralamaya kalktığınız zaman, bilimsel paradokslar listesine sokabileceğiniz belki de binlerce örnek vardır. Pek çoğunun cevabı biliniyor olmasına rağmen, hala çözemediklerimiz de mevcut. Ben ise, her yazıda bilimin farklı bir alanında ortaya çıkan bazı paradoksları toparlamayı ve açıklamayı uygun gördüm.

Klasik Mekanik Paradoksları

Biz fizikçilerin başlamak için en çok sevdiği ve tercih ettiği noktadan başlıyorum; klasik mekanikteki paradokslar. Bir diğer deyişle, günlük hayatımızda rastgeldiğimiz, içinde yaşadığımız bu dünyayı anlamlandırmaya çalışırken içine düştüğümüz çelişkiler.

Antik Yunan’dan beri geliştirmekte olduğumuz ve oldukça iyi anladığımız klasik mekanikte onlarca paradoks mevcut. Bunlardan bazıları gene Antik Yunan’da ortaya atılmış ve çözülmüş olmasına rağmen, yaşadığımız yüzyıl içerisinde de ortaya çıkmış ve hala çözülmeyi bekleyen paradoksların olması, dikkate değer bir konu. Antik paradokslara bir örnek ile başlayalım.

Zeno Paradoksu

Zeno paradoksu, Yunan filozoflarından Elea’lı Zeno’nun geliştirdiği, temelde değişimin ve hareketin birer aldatmaca olduğunu göstermek için ortaya atılmış ve tam çözümü ancak 1700’lerden sonra mevcut olmuş bir çelişkidir. Paradoksu basitçe şöyle ifade edeyim;

Yaydan çıkmış ve ilerleyen bir ok, zaman içindeki her anda belirli bir konumdadır. Eğer an belirli, tek bir nokta ise o anda okun hareket etmeye zamanı yoktur ve durağandır. Bu nedenle gelecek anların hepsinde de durağan yani hareket etmeyen şekilde olması gerektir. Böylece ok her zaman durağandır ve hareket etmez; hareket imkânsızdır.[1]

Daha da basitleştirelim; bir oku fırlatıyorsunuz ve onun hareketini inceliyorsunuz. Bunu yapmak için zamandan noktalar seçiyor ve oka bakıyorsunuz. Seçtiğiniz her noktada, ok duruyor. Bu durumda, bütün hareket seçtiğiniz sonsuz sayıda noktadan oluşuyorsa ve ok her noktada durağansa, aslında hiç hareket etmiyor demektir.

Her ne kadar “Adam haklı beyler!” demek istesem de, günlük hayattan bildiğimiz şey, hareketin var olduğu. O zaman, bu paradoks en başından yanlış ve işe yaramaz demektir diye kestirip atmak ile aslında paradoksun yanlışlığını göstermiş olmuyoruz. Bunu yapmak için, onu daha dikkatli incelememiz ve kurduğumuz akıl yürütmenin neresinde yanlış yaptığımızı bulmamız lazım.

Oku fırlattığımız ana t1, sonraki bir ana da t2 diyelim. Zeno’nun önermesine göre, öncelikle t2-t1 aralığını sonsuz tane aralığa bölüyoruz, öyle ki, her aralık birer nokta haline geliyor. Sonrasında, bu noktalarda okun hareketini inceliyoruz; eğer zaman aralıklarımız birer noktaysa, ok her noktada duruyor demektir. Sonuçta, t2-t1 arası sonsuz tane aralığa bölündü, okun ilerlemesi için de sonsuz tane hareket yapması gerekiyor. Sonsuz hareketi de sınırlı bir zaman aralığında (t2-t1) yapamayacağına göre, ok duruyor, yani hareket yok.

Vay canına! Zeno’nun önermelerini ve akıl yürütmesini takip ettiğimiz zaman, gerçekten de okun duruyor olması gerektiği, böylece de gözlemlediğimiz bütün hareketin aslında birer aldatmaca olduğu sonucuna varıyoruz. Öte yandan da, hareketin olduğunu gözlemliyor, onu tahmin edebiliyoruz. O halde, bu çelişkinin içinden nasıl çıkacağız? Zeno nerede yanlış yapıyor?

Hız, klasik fizikteki en önemli kavramlardan bir tanesi. Tanım gereği, birim zamanda alınan yol bize hızı veriyor;

v=dx/dt

Cismin herhangi bir anda hızını sorarsanız, sizden zaman aralığını sıfıra götürmenizi, yani matematiksel anlamda limit almanızı isteyeceğim. Zaman aralığı dt’yi ne kadar daraltırsanız, o andaki hıza o kadar yaklaşırsınız. Dikkat etmeniz gereken nokta ise, dt’yi sıfır almamak, bir diğer deyişle, zaman aralıklarınız asla birer nokta olamaz. Eğer zaman aralıklarınız nokta olursa, tanım gereği elinizde bir hız olmayacaktır. Bu nedenle, dt’yi çok çok çok küçültüyoruz, böylece o ana giderek daha çok yaklaşıyoruz, ama asla o an’ı oluşturan noktaya gelmiyoruz, onun hep +-E (E çok çok küçük bir sayı olmak üzere) kadar etrafında geziniyoruz.

Hal böyle olunca, her şekilde elinizde bir hız değeri, dolayısıyla da hareket oluyor ve okun bir noktadan bir diğer noktaya gitmesi hiçbir sorun yaratmıyor.

İşin ilginç ve komik tarafı, okuduğunuz zaman oldukça açık gelen +-E fikrini ancak 1700’lerden sonra, kalkülüs (calculus, sonsuz küçüklükler hesabı) Newton ve Leibniz tarafından ortaya çıkarıldığı zaman geliştirebilmemiz. Kısacası, M.Ö. 450 civarında ortaya atılan bu paradoksu çözmemiz neredeyse 2000 yılımızı aldı!

Aristo’nun Teker Paradoksu

Klasik mekanikteki bir diğer paradoksu, büyük Antik Yunan filozoflarından Aristo’ya borçluyuz[2]. Aristo’nun teker paradoksu olarak geçen bu çelişki, çok basit olmasına rağmen oldukça şaşırtıcı.

İçi boş bir tekerlek alın. Daha sonra, bunun içine bir başka teker koyun; öyle ki bu iki teker birlikte hareket etsinler. Daha sonra, dıştaki tekerleği yuvarlayın. Eğer tekerlekler kaymadan düzgün düzgün yuvarlanıyorlarsa, aldıkları yol çevreleri x dönme sayısı olmalı. Herhangi bir anda, tekerlekler hala içiçe olduklarına, aynı sayıda tur attıklarına ve aynı pozisyonda olduklarına göre, çevreleri de eşit olmalı. E ama çevrelerinin farklı olması gerektiğini en başta söylemiştik, şimdi ise aynı olduklarını buluyoruz. Alın size bir başka çelişki daha!

Eş merkezli iki teker Aristo'nun paradoksunun temelini oluşturuyor. Eğer sürüklenmeden dönüyorlarsa, aldıkları yol çevreleri kere dönme sayılarına eşit olmalı.

Eş merkezli iki teker Aristo’nun paradoksunun temelini oluşturuyor. Eğer sürüklenmeden dönüyorlarsa, aldıkları yol çevreleri kere dönme sayılarına eşit olmalı. Kaynak: en.wikipedia.org

Aristo’nun teker paradoksunun çözümü için, gene öncülleri incelememiz gerekiyor. Bir cisim, eğer kaymadan yuvarlanıyorsa, o zaman gerçekten de aldığı yol çevresi x tur sayısıdır. Ama eğer yuvarlanırken kayıyorsa, o zaman aldığı yol çevre x tur sayısından daha farklı bir değer olacaktır.

Eğer iki tane tekeri içiçe sokup çevirirseniz, aynı zamanda aynı yolu alacaklardır; fakat hiçbir zaman içteki tekerleğin kaymadan dönmesini sağlayamazsınız. En dıştaki tekerlek kaymadan dönebilir, ama içtekinin bunu yapması fiziksel olarak imkansızdır. Nedeni ise en basitinden şöyle gösterilebilir; farklı çevreye sahip iki tekeri ortalarından bir çubuk geçecek şekilde bağlayın ve çubuğu yavaşça çekerek dönmelerini sağlayın. Eğer yeterince yavaş çekerseniz, sistemin büyük teker dışta kalacak şekilde dönmeye başladığını; eğer hızlıca çekerseniz küçük tekerin dönerken sürüklendiğini göreceksiniz. Bu demek oluyor ki, aslında Aristo’nun aklında kurduğu gibi bir sistemi fiziksel olarak kurmamız imkansız. Fiziksel olarak imkansız bir sistemin de beklediğimiz gibi çalışmaması, en normal durumdur.

Çay Yaprakları Paradoksu

Gelelim yazının başında verdiğim çay yaprakları örneğine[3]. Sorunu kısaca tekrar özetleyeyim;

Elinizde bir bardak çay ve içinde de çay yaprakları var. Bardağı döndürüyorsunuz. Yaprakların bardağın ortasında toplandığını göreceksiniz. Eğer dönen cisimler merkezden dışarı doğru itiliyorsa (virajı almaya çalışan bir arabanın içinde olduğunuz zaman dışarı doğru itildiğinizi hissedersiniz), yapraklar da dışarı doğru itilmeli.

Kafa karıştırıcı bir başka durum daha. Gerçekten de, dönmeye başladığınız zaman dışarı doğru itildiğinizi hissedeceksiniz (her ne kadar aslında merkeze doğru çekiliyor olsanız da, lütfen notlar kısmına bakın). O zaman çayı karıştırdığımız zaman yaprakların da bardağın çeperinde birikmesini bekleriz. Gelgelelim ki, tam tersini gözlemliyoruz.

Bu paradoksun çözümü, bir öncekilere göre daha fazla teknik bilgi gerektiriyor.

Mavi kesikli yol, basınç ve merkezcil kuvvet farkından kaynaklanan sıvı akımını gösteriyor. Bu akım sayesinde yapraklar merkezde toplanıyor. Kaynak: en.wikipedia.org

Mavi kesikli yol, basınç ve merkezcil kuvvet farkından kaynaklanan sıvı akımını gösteriyor. Bu akım sayesinde yapraklar merkezde toplanıyor. Kaynak: en.wikipedia.org

Çayı karıştırdığınız zaman, sıvı döndüğü için bardağın çeperlerinde birikmeye başlayacak, yani çeperlerde sıvının yüksekliği daha yüksek olacaktır. Çeperlere yaklaştıkça su tanecikleri giderek daha hızlı dönmek zorundalar. Ancak, en dışta, yani çeperle temas halindeki su tanecikleri, hemen yanlarındakilere göre, çeper ile yaptıkları sürtünmeden dolayı daha yavaş hareket etmek edeceklerdir; ki bu da en dıştaki taneciklere daha az “itme kuvveti” uygulandığı anlamına gelir.

Diğer yandan, sıvıların basıncı yükseklikleri ile doğru orantılıdır; daha derin bir sıvının tabanındaki basınç, aynı sıvının sığ bir kapta tabana uyguladığı basınçtan daha yüksektir. Sıvıların (daha doğrusu akışkanların) bir diğer özelliği de, yüksek basınçtan düşük basınca doğru hareket etmeleridir. Bunun sebebi de, yüksek basınçlı bölgelerde daha fazla kuvvetin olmasıdır. Bu durumda, bardağın dibinde, çeperlerde bulunan su tanecikleri bardağın merkezine doğru gitmek isteyeceklerdir.

Bu durumda, bütün su tanecikleri üzerinde birbirine zıt yönde iki tane kuvvet olduğunu söyleyebiliriz. Bir tanesi, dönmeden kaynaklı, onları “dışa doğru iten” kuvvet, diğeride basınç farkından dolayı “içeri çeken” kuvvet. Eğer sürtünme olmasaydı, bu iki kuvvetin eşit olması gerekeceği için, bütün tanecikler aynı yörüngede dönmeye devam edecekleri. Ancak, çeperle sıvı arasındaki sürtünmeden dolayı en dıştaki su taneciklerinin daha yavaş hareket ettiğini söylemiştim. Bu yüzden, bardağın en dibinde ve çepere en yakın tanecikler, bardağın merkezine doğru daha güçlü çekilirler. Bu ise, bardağın altında merkeze doğru sıvı akımı anlamına gelir. Elbette, merkeze doğru giden taneciklerin yerini, onların üstünde bulunan tanecikler alır. O taneciklerin oluşturduğu boşluğu da başka tanecikler alır. Böylece, bardağın dibinde merkeze doğru, yüzeyinde ise dışarı doğru net bir sıvı akımı oluşur. Çay yaprakları bu akım tarafından yukarıya taşınamayacak kadar ağır oldukları için, sadece yatayda hareket ederler ve bardağın dibinde merkezde toplanırlar.

Bu paradoksun çözümü ise, 1926 yılında Albert Einstein’dan, nehir yataklarındaki erozyonu açıklamak için çalıştığı sırada geldi.[4]

Yok mu Arttıran?

Klasik mekanikte daha pek çok paradoks mevcut. Bunların bazılarını anlamak, genelgeçer bir bilgi ve anlayıştan çok daha fazlasını gerektiriyor, bu yüzden onlara bu yazıda yer vermedim. Bazı paradokslar ise hala çözülmeyi bekliyorlar; eşmerkezli iki çember arasında bulunan çubuğun dönmemesi gerektiği halde dönmesi gibi. İlgilenen okurlar, yazının sonundaki kaynakça ve notları takip ederek daha geniş bilgiye ulaşabilirler.
Paradokslar, ilgi çekici ve kafa karıştırıcı oldukları kadar öğretici ve bilimsel bilginin ilerlemesi konusunda yardımcıdırlar da. Aristo’nun teker paradoksu, bize basitçe öyle bir sistemin kurulamayacağını, Zeno’nun paradoksu da hareketi anlamak için ufak aralıklara ihtiyacımız olduğunu gösterdi. Çay yaprakları ise, günlük hayatın ayrılmaz parçası olan sürtünmeyi ihmal ettiğimiz zaman ne gibi çıkmazlara sürüklenebileceğimizin bir örneği.

Elbette ki paradokslar sadece klasik mekanik ile sınırlı değil. Genel görelilik ve kuantum mekaniği de bu anlamda hiç de geri kalmıyorlar. Modern fiziğin bu iki önemli teorisinin yarattığı çelişkileri de bu dizinin devamında bulabilirsiniz.

Notlar:

Dönen cisimlere etki eden kuvvet, her zaman merkeze doğrudur. Bu nedenle, aslında bizleri dışarı iten bir kuvvet yoktur. Merkezkaç adını verdiğimiz bu kuvvet, fizikte “yalancı kuvvet” olarak geçer. Her ne kadar yanlış bir tanım olsa da, dönerken aslında merkeze çekildiğimiz fikrine alışmak, açıklamaya çalıştığım paradoksun önüne geçmesini istemediğimden, yazıda merkezkaç terimini kullandım. Gene de, dikkatli olmak gerekir.

Kaynakça:

1-http://tr.wikipedia.org/wiki/Zenon’un_paradokslar%C4%B1

2-http://en.wikipedia.org/wiki/Aristotle%27s_wheel_paradox

3-http://en.wikipedia.org/wiki/Tea_leaf_paradox

4-Einstein, Albert “Die Ursache der Mäanderbildung der Flußläufe und des sogenannten Baerschen Gesetzes”. Die Naturwissenschaften (Berlin / Heidelberg: Springer) 14 (11): 223–4 (Mart 1926)

Etiketler: , , , , ,


Yazar

Koç Üniversitesi Fizik Bölümü'nde yüksek lisans öğrencisi. Proteinlerin ve enzim dinamiklerini teorik ve hesaplamalı olarak inceliyor. Daha öncesinde Cambrdige Üniversitesi'nde biyofizik üzerine çalıştı, 2013'te Bilkent Üniversitesi Kimya Bölümü'nü bitirdi. Alanını değiştirse de gönülden bağlı olduğu kimya hakkında kimyablog.com adresinde yazıyor.






Yorum yapın (Facebook, Twitter gibi hesaplarınız geçerlidir.)

Back to Top ↑
  • Patreon’dayız

  • Bizi Takip Edin

  • iTunes Bağlantısı

  • Reklam Alanı

  • Destekçiler

  • E-POSTA LİSTESİ

    Yeni bir yayınımız yayımlandığında e-posta yoluyla haberdar olmak için adresinizi bu alana girin.

    Diğer 99.815 aboneye katılın

  • Hızlı Takvim

    Mart 2014
    P S Ç P C C P
    « Şub   Nis »
     12
    3456789
    10111213141516
    17181920212223
    24252627282930
    31