MAKALE

Yayın Tarihi: 23 Şub 2015 | Murat Çetinkaya

0

HESAPLAYAN ADAM: DURDURUN DÜNYAYI, İNECEK VAR!

Merhabalar. “Hesaplayan Adam” olarak size her ay basit gibi gözüken ama biraz kafa yorduran ufak hesaplar yapacağım. Serinin ilk yazısında yerçekimi kuvvetini ve bunun etkisinden kurtulmanın yollarını farazi olarak hesaplayacağım.

Beni bu yazıyı yazmaya iten iki olayın ilki lastik ördek şeklindeki 67P/Churyumov–Gerasimenko adlı kuyruklu yıldıza zor bela inen Rosetta uzay aracıydı. Diğeri ise geçenlerde izlediğim Interstellar filmindeki Endurance adlı kendi etrafında dönerek yapay yerçekimi oluşturan uzay istasyonuydu. Yazının sonunda bu konulara da değineceğim.

Yerçekimi kuvveti

Bu senaryoda bizi ilgilendiren iki kuvvet var: Yerçekimi kuvveti ve merkezkaç kuvveti. Yerçekimi kuvveti Newton’un formüle ettiği gibi:

Formül 1

Formül 1

 

Burada Fg hesaplamak istediğim yerçekimi kuvveti, My yeryüzünün kütlesi olan 5,972E24 kg (E 10 üzeri demek, yani neredeyese 6 trilyon kere trilyon kilogram), Mh benim kütlem (bunun önemsiz olduğunu göstereceğim), G ise evrensel çekim sabiti (6,67E-11 Nm2/kg2 yani 66,7nin trilyonda biri) ve bu değer evrenin her yerinde aynı. Son olarak r de yeryüzünün merkeziyle benim aramdaki mesafe. Eğer ayaklarım yere basıyorsa, yeryüzünün ortalama yarıçapı olan 6378 km olacak r’nin değeri. Eğer yeryüzünden oldukça uzaklaşıyorsam, tabii bu mesafeyi 6378 km ile toplamak zorundayım. Gördüğünüz gibi, değerleri ve birimleri yerine koyunca yerçekimi kuvveti N, yani Newton cinsinden elime geçiyor. Yeryüzünde 1 kiloluk bir kütlenin ağırlığı 9,8 N’dir. Bu yüzden dünyadaki yerçekimi ivmesi, yani g kuvveti, 9,8 m/s2’dir. Bu bilgiyi yazının sonunda kullanacağım. Burada önemli olan bir nokta yerçekimi kuvvetinin her zaman iki kütlenin merkezlerini birleştiren doğrultuda olduğu (Şekil 1). O yüzden dünyadaki herkesin ayakları yere eşit miktarda basar. Yani yerçekimi herkese adildir.

Şekil 1. Ekvator’da da olsam, kutuplarda da, veyahut da Türkiye’de, üzerimdeki yerçekimi kuvveti aynı kalır ve benımle dünyanın merkezi arasındaki doğrultuda olur.

Şekil 1. Ekvator’da da olsam, kutuplarda da, veyahut da Türkiye’de, üzerimdeki yerçekimi kuvveti aynı kalır ve benımle dünyanın merkezi arasındaki doğrultuda olur.

Merkezkaç kuvveti

İşin ikinci perdesi merkezkaç kuvveti. Bir ipe bağlı bir cismi çevirince ipi geren, ya da arabayla virajı dönerken bizi koltuğa yaslayan kuvvetten bahsediyorum. Onun da formülü şu şekilde:

Formül 2

Formül 2

Burada Fc merkezkaç kuvveti (birimi yine Newton). Mh benim kütlem, v ise dönüş sırasındaki doğrusal hızım (aşağıda detaylı açıklayacağım), rc ise benimle dönüş ekseni arasındaki mesafe, ki bu dünyanın neresinde olduğuma göre değişir.

Şekil 2: Yeryüzündeki 3 nokta için (E=ekvator, T=Türkiye, K= kuzey kutbu) merkezkaç kuvvetleri (FcE, FcT, FcK=0) ve bu noktaların dönüş eksenine olan uzaklıkları (rcE, rcT, rcK=0). Merkezkaç kuvvetlerin doğrultusu eksene dik ve merkezden dışarıya doğrudur. Ekvator için dönüş eksenine olan mesafe, yani rcE, yeryüzünün yarıçapına eşitken, Türkiye için bu mesafe enlem derecesine, yani q açısına bağlıdır (ortalama 39 derece kuzey enlemi).

Şekil 2: Yeryüzündeki 3 nokta için (E=ekvator, T=Türkiye, K= kuzey kutbu) merkezkaç kuvvetleri (FcE, FcT, FcK=0) ve bu noktaların dönüş eksenine olan uzaklıkları (rcE, rcT, rcK=0). Merkezkaç kuvvetlerin doğrultusu eksene dik ve merkezden dışarıya doğrudur. Ekvator için dönüş eksenine olan mesafe, yani rcE, yeryüzünün yarıçapına eşitken, Türkiye için bu mesafe enlem derecesine, yani q açısına bağlıdır (ortalama 39 derece kuzey enlemi).

Doğrusal ve açısal hız kavramları ile devam edelim. Dünyaya kuzey-güney kutup doğrultusunda bakacak olursak (Şekil 2, üst görünüş), yeryüzündeki bütün noktalar birim zaman içinde aynı açıyı süpürür. Yani 24 saatte 360 derece. Buna istisna sadece iki nokta var, onlar da güney ve kuzey kutup noktalarının kendileri çünkü bu noktalarda açısal hız sıfır (bu noktalarda gece ve gündüz olmasının sebebi ise dünyanın eksen eğikliğidir).

Yeryüzündeki her noktada açısal hızın aynı olmasıyla beraber farklı enlemlerdeki noktaların doğrusal hızları farklı olmak zorunda, çünkü bu noktaların dönüş eksenine uzaklıkları farklı. E noktası tam ekvatorda olduğu için eksenden en uzak mesafeye ve dolayısıyla en yüksek doğrusal hıza sahip. T noktası ise dönüş eksenine daha yakın, dolayısıyla doğrusal hızı daha düşük. Doğrusal hızın enleme göre değişimini enlem değerinin kosinüsünü kullanarak hesaplayabilirim.

Ayağımız yerden kesilsin

Bu hesabın temelini oluşturan iki kuvveti de tanımladıktan sonra bunları nasıl kullanacağıma geldi sıra. Burada dikkat edilmesi gereken nokta merkezkaç ve yerçekimi kuvvetlerinin birbirlerine eşit olmaları ki, beni yeryüzüne bağlayan bir kuvvet kalmasın.

Eğer kutup noktalarında olsaydım, üstümdeki yerçekimi kuvvetini etkisiz kılacak bir merkezkaç kuvveti olmayacaktı, çünkü dönüş ekseninin tam üstünde yer alacaktım, bir başka değişle açısal ve çizgisel hızlarım sıfır olacaktı (Şekil 2). Eğer ekvator hizasında olsaydım, merkezkaç kuvveti ve yerçekimi kuvveti birbirleriyle aynı doğrultuda ama ters yönde olacaklardı. Bunun dışında, yeryüzündeki herhangi bir noktada ise bu kuvvetler birbirleriyle aynı yönde olmayacakları için merkezkaç kuvvetinin etki ettiği enlem derecesine göre kosinüs değerini almak zorundayım (Şekil 3).

Şekil 3. Ekvatorda hesaplanan kuvvetler birbiriyle aynı doğrultuda ama ters yönde olurlarken, mesela T noktasındaki merkezkaç kuvveti FcTnin T noktasının enlem derecesi olan teta ile kosinüsünü almalıyım. Çünkü FcT’nin bu bileşeni yerçekimi kuvvetine karşı koyuyor.

Şekil 3. Ekvatorda hesaplanan kuvvetler birbiriyle aynı doğrultuda ama ters yönde olurlarken, mesela T noktasındaki merkezkaç kuvveti FcTnin T noktasının enlem derecesi olan q ile kosinüsünü almalıyım. Çünkü FcT’nin bu bileşeni yerçekimi kuvvetine karşı koyuyor.

Şu anki haliyle yeryüzündeki merkezkaç kuvveti en şiddetli olduğu nokta olan ekvatorda bile yerçekimi kuvvetinin sadece binde üçüne denk geliyor. Dolayısıyla yerçekiminden kurtulmam için ya yeryüzünden uzaklaşmam, ya dünyayı daha hızlı döndürmem, ya da dünyanın kütlesini azaltmam gerekiyor. Şimdi bu üç durumu ele alalım.

1) Dünyaya olan mesafe

Ekvator hizasından başlayarak dünyadan H kadar uzaklaştığımızı varsayalım, böylece işlemleri trigonometri kullanmadan yapabilirim. Yerçekimi ve merkezkaç kuvvetlerini birbirlerine eşitlersem şu durum ortaya çıkıyor:

Formül 3

Formül 3

Burada r dünyanın yarıçapı, H de uzaklaşma miktarım. v, yani çizgisel hızımız ise dünyanın açısal hızı (24 saatte 360 derece yani 2 pi radyan) çarpı eksene olan toplam uzaklık yani r+H. Dolasıyla burada tek bilinmeyen olan H değeri için denklemi çözersek yuvarlak olarak 36 bin kilometre değerini buluyoruz. Küsüratına kadar aynı olmasa da jeostatik yörünge değerine oldukça yaklaşık bir değer buluyoruz, ki bu tesadüf değil. Bu mesafede yer alan uydular, dünya çevresinde dünya ile aynı açısal hızda döndüklerinde, gökyüzünde sabit bir nokta olarak kalırlar ve yeryüzüne düşmeden hareketlerine devam ederler. Eğer ekvator dışında bir noktadan başlayarak yeryüzünden uzaklaşsaydım, iki durum ortaya çıkacaktı:

  • Eğer yeryüzü ile yine aynı eksen etrafında dönseydim mesafemi 36 bin kilometreden daha da fazla arttırmam gerekecekti. Mesela temeli yeryüzünde olan bir uzay asansörü hayal edelim. Eğer bu asansör Türkiye’den uzaya gitseydi, 36 bin değil de ancak 48 bin kilometrede yerçekiminin etkisi ortadan kalkacaktı. Bunun sebebi, Türkiye’de dünyanın dönüş eksenine ekvatordan daha yakın olmam.
  • Diğer taraftan, Türkiye’den kalkan bir uzay aracı ile dünyadan uzaklaşıp dünyanın dönüş ekseni etrafında değil de Türkiye ve Türkiye’nin anitpod noktasına (yeryüzüne Türkiye’den bir şiş soktuğunuzu farzedin, şişin diğer taraftan çıktığı nokta Türkiye’nin antipodudur) dik bir eksen etrafında dünya ile aynı açısal hızda dönseydim, 36 bin kilometre mesafe yine yeterli olacaktı (Şekil 4).
Şekil 4. Ekvator ve Türkiye ile bunların antipodlarını baz alan jeostatik yörüngeler. İki yörünge de aynı çapa sahip

Şekil 4. Ekvator ve Türkiye ile bunların antipodlarını baz alan jeostatik yörüngeler. İki yörünge de aynı çapa sahip

2) Dünyanın açısal hızı

Bu sefer dünyadan uzaklaşmadığımı, yani yeryüzünde kaldığımı düşünelim. Bu durumda dünya şu andakindan daha hızlı dönmeli ki, merkezkaç kuvveti yüzlerce kat daha yüksek olsun, ve yerçekimi beni tutamasın.

Formül 4

Formül 4

Burada ry yeryüzünün yarıçapı, rc dünyanın dönüş eksenin olan mesafe (bulunduğum yerin enlemine bağlı), w ise tek bilinmeyenimiz olan dünyanın açısal hızı. Eğer bu denklemi ekvatordaki bir nokta için çözersek, dünyanın kendi çevresinde neredeyse 17 kat hızlı dönmesi gerekecekti. Yani bir gün 85 dakika sürecekti. Bu hızda Türkiye’de ise yerçekimi etkisini yarı yarıya kaybedecekti. Bir başka deyişle neredeyse yarı ağırlıkta olacaktım. Eğer Türkiye’de yerçekiminden kurtulmak isteseydim dünyanın 25 kat hızlı dönmesi gerekecekti. Bu hızda ekvatorda ise yeryüzünden kopmamak için yerin 21 kilometre altında olmam gerecekti.

3) Dünyanın kütlesi

Son olarak yine yeryüzünde kaldığımı ve dünyanın kendi etrafında 24 saatte döndüğünü kabul edip, dünyanın kütlesi ile oynayacağım. 4 numaralı denkleme dönersek, Bu koşulda tek bilinmeyenimiz olan My için denklemi çözmemiz gerekecekti (rc yine enleme bağlı). Eğer yeryüzünün boyutu bu haliyle kalsaydı, ama ortalama yoğunluğu 290 kat daha az olsaydı (yani suyun yoğunluğunun ellide biri kadar), ekvatordaki yerçekimi kuvveti şu anki merkezkaç kuvvetiyle aynı büyüklükte olacaktı. Türkiye’de bu durumun oluşması için ise yeryüzünün ortalama 620 kat daha az bir yoğunluğa sahip olması gerekecekti. Bu durumda ekvatorda yeryüzünden kopmamak için yerin 4 kilometre altında olmam gerekecekti.

Yeryüzünün yoğunluğunu azaltmak yerine, bu haliyle bırakıp (metreküp başına ortalama 5510 kg), boyutunu artırmayı veya azaltmayı denersem yerçekimi kuvvetinin her halükarda merkezkaç kuvvetine üstün geldiğini buluyorum.

Ekstra

Bu kadar hesap yaptıktan sonra yazının başında belirttiğim iki olayı irdelemek istiyorum. Lastik ördek şeklindeki kuyrukluyıldıza çarpıp seken Rosetta uzay aracının durumu aslında açık. İnmeye çalıştığı cisim o kadar küçük ki (1E13 kg yani dünyanın 600 milyarda biri kadar), yerçekimi kuvveti yok denecek kadar küçük. Eğer bir astronot yüzeye inebilseydi, adım atmaya çalışırken bile kuyrukluyıldızdan kopacaktı. Buna karşılık, hatırlarsanız Armageddon filmindeki göktaşına ayak basan astronotların bir güreş tutmadıkları kalmıştı.

Son olarak Interstellar filminde yer alan Endurance uzay istasyonundaki yapay yerçekimi ortamının mümkün olup olmadığına bakalım. Senaryoya göre 64 metre çapındaki bu istasyon dakikada 5,6 tur dönüyor. Bu durumda (4) numaralı denklemin sağ tarafını kullanırsak, istasyonda yapay olarak oluşturulan yerçekimi ivmesi değerini 11 buluyoruz, ki yeryüzünde 9,8 olan bu değere oldukça yakın. Eğer 32 yerine 28,5 metrelik bir mesafe alırsak, 9,8 değerine zaten ulaşıyoruz, ki oldukça makul. Kısacası senaristler astrofiziğe kafa yorarken, böyle basit ama önemli bir detayı da gözardı etmemişler.

Sonraki macera: Yılbaşını havada kovalamak

Kaynaklar
Kapak resmi: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Earth_in_vivid_colors_1.jpg

Şekiller yazar tarafından Açık Bilim için hazırlanmıştır.

Etiketler: , , , , , ,


Yazar

ODTÜ'den makine mühendisi olarak mezun olduktan sonra ABD ve Almanya'da çalıştı. Kendisi şu anda Hollanda'da Avrupa Patent Enstitüsü'nde patent memuru olarak görev alıyor.






Yorum yapın (Facebook, Twitter gibi hesaplarınız geçerlidir.)

Back to Top ↑
  • RSS Bağlantısı

  • Facebook

  • Reklam Alanı

  • Destekçiler

    Sunucu Sponsoru
  • Mekân sponsoru
  • E-POSTA LİSTESİ

    Yeni bir yayınımız yayımlandığında e-posta yoluyla haberdar olmak için adresinizi bu alana girin.

    Diğer 100.445 aboneye katılın

  • Hızlı Takvim

    Şubat 2015
    P S Ç P C C P
    « Oca   Mar »
     1
    2345678
    9101112131415
    16171819202122
    232425262728