POKER ELLERİNİN OLASILIK HESABI

Pokerde elinize gelecek kartlar -deste hilesizse- tamamen tesadüfidir. Şansınıza bakar! Elinize gelecek kartları önceden bilemezsiniz. Şansı biraz yaver giden yeniyetme oyuncunun yılların oyuncusuna karşı kazanması işten bile olmayabilir. Şansın önemi bariz elbette ama pokerde sadece şansı bol olan kazanmaz. İyi bir strateji kurabilmek için olasılık hesabından fazlasına ihtiyaç olsa da, sadece ellerin olasılığını hesaplayarak durumu olabildiğince kendi yararınıza çevirebilirsiniz. Bu yazıda poker ellerinin gelme olasılıklarını hesaplayacağız.

Öncelikle kısaca oyunun kurallarından bahsedeyim. Poker 7’den As’a 32 kağıtlık bir deste ve dört oyuncuyla oynanır. Her bir oyuncuya 5’er kağıt dağıtılır. Poker elleri değerine göre şöyle sıralanır, (as için A, vale için J, kız için Q ve papaz için K harflerini kullanacağım, her el üstündekilerden daha değerli).

Çöp: Aşağıdakilerden hiçbiri olmayan eller. Bu eller hiç bir işe yaramayanlar.
Per:  iki tane aynı kağıttan oluşan eller. Mesela AA gibi.
Döper: iki çift aynı kağıttan oluşan ama dört kağıdın da aynı olmadığı eller. Mesela AAQQ gibi.
Kent: Kağıtların sıralı ama hepsinin aynı renkten olmadığı eller. Mesela 9-10-J-Q-K-A gibi.
Üçlü: Üç tane aynı kağıttan oluşan eller. AAA gibi.
Ful: Üçlü ve Per. Yani QQQJJ gibi eller.
Kare: Dört tane aynı kağıttan oluşan eller. QQQQ gibi.
Renk: Hepsi aynı renkten oluşan ancak sıralı olmayan eller. Mesela bütün kağıtların maça olduğu bir el.
Floş: Renk ve Kent, ama en büyük kağıt A olamaz. Yani hem aynı renkten hem de sıralı eller.
Floş Royal: Floş ve sıralama 9-10-J-Q-K-A olan eller.

Kağıtlar dağıtıldıktan sonra her oyuncu, yukarıdaki ellerden daha iyi birini yakalama şansını arttırmak için, elinden en fazla üç kağıdı değişitirebilir (her oyuncunun 3 kağıt değiştirmesi durumunda 32 kağıtlık desteki bütün kağıtların kullanılmış olacağına dikkatinizi çekerim!). Hayatta şansınızı arttırmak adına yapacağınız herşeyde olduğu gibi bu değiştirme de bedavaya yapılmaz; bir bedeli vardır. Bu değiştirmeyi yapmak için ortaya belli bir para koymak gerekir. Parayı koymayan oyuncu oyundan çıkmış olur. Oyunun amacı elbette rakiplerinizden daha değerli bir el yapmak.

Şimdi poker ellerinin kağıt değiştirmeden, yani elden gelme olasılıklarını hesaplayalım.

Hesaba başlamadan önce yazıda sık sık kullanacağımız kombinasyonun tanımını hatırlatayım, $latex m,n\in\mathbb N$ ve $latex m \leq n$ olsun. Niyetimiz $latex n$ elemanlı bir kümeden $latex m$ tane elemanın -sıralama önemsenmeksizin- kaç farklı biçimde seçilebileceğini hesaplamak. Bir başka deyişle $latex n$ elemanlı bir kümenin $latex m$ elemanlı alt kümelerinin sayısı. Bu sayıya $latex n$’nin $latex m$’li kombinasyonu denir, bu sayı $latex {n\choose m}$ olarak gösterilir. Hesaplamak için de şu formül kullanılır (formülün nasıl çıktığını merak eden okur için bkz. [1] Bölüm 5).

$latex {n \choose m}= \frac{n!}{m!(n-m)!} = \frac{n\cdot (n-1)\cdot …\cdot (n-m)!}{m!(n-m)!} = \frac{n\cdot (n-1)\cdot…\cdot (n-m+1)}{m!}$

Bu formüle göre olası poker ellerinin hesabı 32 kağıttan kaç farklı beş kağıt seçilebileceğinin sayısı. Yani $latex {32\choose 5}$.

Akla ilk gelen bir oyuncunun elindeki beş kağıttan ikisinin aynı olduğu kaç tane el olabileceğini saymak. Ancak bu sayı per ellerinin sayısından çok daha fazla, çünkü döper, üçlü, ful ve kare elleri de bu duruma giriyor. Hem de beş kağıttan ikisinin aynı olduğu elleri saymaya kalktığımızda çok fazla çifte sayma oluyor. Mesela AAKK ve KKAA gibi eller aynı el olmalarına karşın ilk başta iki defa sayılıyor. Bunlara da dikkat etmek lazım. Bu yöntemin hesap yükü ağır.

Beş kağıttan ikisinin aynı olduğu eller arasında sayması en kolayı Ful elleri, çünkü bu ellerde beş kağıdın tamamını kullanıyoruz. Elleri açıklarken verdiğim örnek olan QQQJJ üzerinden gidelim. Toplamda dört tane kız olduğundan (Q$latex \heartsuit$, Q$latex \diamondsuit$, Q$latex \clubsuit$, Q$latex \spadesuit$) bunların arasından üç kız $latex {4 \choose 3} = 4$ farklı şekilde seçilir. Benzer şekilde dört tane vale olduğundan bunlardan iki tanesi de $latex {4 \choose 2} = 6$ farklı şekilde seçilebilir. Üçlü, kızlar yerine başka kağıtlardan da oluşabilirdi, üçlünün oluşabileceği sekiz tür kağıt var. Demektir ki ikilinin de oluşabileceği yedi tür kağıt var. Öyleyse ful sayısı

$latex 8 \cdot{4\choose 3}\cdot 7\cdot{4 \choose 2} = 32\cdot 42 = 1,344$.

Beş kağıdın dördünün aynı olması sebebiyle kare sayısını hesaplaması da kolaydır. Bir tür kağıt bütün renkleriyle elinizde olmalı. Aynı olacak dört kağıdımız için sekiz tane seçenek var: AAAA, KKKK, QQQQ, JJJJ, 10-10-10-10, 9-9-9-9, 8-8-8-8, 7-7-7-7. Dört tane aynı kağıdın yanına gelecek tek kağıt için bir sınırlama yok. Geriye kalan 28 kağıttan herhangi biri gelebilr. Dört tane aynı kağıdımızın yanına gelebilecek kağıt sayısı $latex {28 \choose 1} = 28$
Dört tane aynı olacak kağıt için de sekiz farklı seçenek olduğunu biliyoruz. Demek ki toplam kare eli sayısı: $latex 8\cdot 28 = 224$.

Şimdi üçlü el sayısını hesaplayalım. Yine elleri açıklarken verdiğim örnek üzerinden gideyim. Üç tane ası $latex {4 \choose 3} = 4$ farklı şekilde seçebiliriz. As yerine yedi farklı tür kağıdımız daha var. Yani toplamda $latex 8\cdot 4 = 32$ farklı üçlü seçebiliriz. Kare elleri saymak istemediğimizden geriye kalan iki kağıdı $latex 32-4=28$ arasından seçmemiz lazım. Toplamda $latex {28\choose 2} = 378$ farklı şekilde seçebiliriz. Dikkat! Bu 378 farklı seçim arasında iki kağıdın da aynı olduğu seçimler var, JJ gibi. Öyleyse

$latex 8\cdot {4\choose 3}\cdot {28\choose 2} = 32\cdot 378 = 12,096$

Ful ve üçlü ellerinin toplam sayısı. Bu sayıdan fulleri çıkarırsak üçlü ellerin sayısını buluruz. Üçlü el sayısı: $latex 12,096 – 1,344 = 10,752$.

Döper ellerinin sayısı. Ful ve kare olmayacak şekilde iki çift aynı kağıttan oluşan ellerin sayısını hesaplamak istiyoruz; AAQQ7 gibi. İki ası $latex {4\choose 2} = 6$ farklı şekilde seçebiliriz, aynı şekilde iki kızı da $latex {4\choose 2} = 6$ farklı şekilde seçebiliriz. Geriye kalan tek kağıdın as ve kız olmaması lazım (yoksa ful olur). Öyleyse bu kağıt için $latex 32 – 8 = 24$ farklı seçenek var. En başta as yerine başka kağıtlar da alabilirdik, ilk çift için sekiz farklı tür var, kare elleri saymak istemediğimiz için ikinci çift için yedi tür var. Bu hesapla bulduğumuz sayı

$latex 8\cdot {4\choose 2}\cdot 7\cdot{4\choose 2}\cdot 24 = 48,384$

Ancak hesap bitmedi. Bulduğumuz sayı Döper ellerinin sayısının iki katı. Bu hesapta AAQQ7 ve QQAA7 ellerini birbirinden farklı saydık, oysa sıralamanın bir önemi yok. Bu çift saymayı düzeltirsek döper ellerinin sayısı: $latex 48,384 \div 2 = 24,192$.

Per ellerinin hesaplaması biraz daha meşakkatlidir. Yine örnekten gidip, iki aslı per sayısını hesaplayalım. İki ası, daha önceki hesaplardan bildiğimiz üzere 6 farklı şekilde seçebiliriz. Kare ve üçlü elleri istemediğimiz için geriye kalan üç kağıdı yine $latex 32-4=28$ kağıt arasından seçeğiz. Yani $latex {28\choose 3}= 3,276$ tane seçenek var. Yine üçlü el sayısını hesaplarken ki duruma benzer bir durumla karşı karşıyayız! Bu 3,276 tane seçenekten bazılarında iki kağıt birbirinin aynısı gelebilir, ki bu durumda elimiz döper olur, bunu istemiyoruz; benzer biçimde üç tane kağıt da aynı gelebilir, bu durumda da ful olur, bunu da istemiyoruz. Demek ki bu 3,276 seçenekten bu durumları çıkarmamız lazım. Asları çıkardıktan sonra İki tane aynı kağıdı $latex 7\cdot{4\choose 2} = 42$ farklı şekiklde seçebiliriz. geriye kalan üç kağıttan iki tanesinin aynı olduğu durumların sayısı $latex 42\cdot 24$ (kalan üç kağıdın ikisi aynı olduğunda geriye hala bir kağıt kalıyor. Bu tek kağıt için de 24 farklı seçenek olduğunu unutmayın!). Kalan üç kağıdın üçünün de aynı olabileceği farklı durum sayısı ise $latex 7\cdot{4\choose 3} = 28$.

Öyleyse farklı as per sayısı:

$latex 6\cdot\left({28\choose 3} – 42\cdot 24 – 28\right) = 6\cdot(3,276 – 1,008 – 28) = 6\cdot 2,240 = 13,440$

Artık alıştığımız üzere, kız yerine 7 seçeneğimiz daha var.
Dolayısıyla bütün per ellerinin sayısı: $latex 8\cdot 13,440 = 107,520$

Floş royal sayısını hesaplamak en kolayıdır. Belki de yazıya bu hesapla başlamalydık! Bunlar En büyük kağıdı as ve bütün kağıtlar aynı renk olan sıralı eller. Her renk için yalnızca bir tane floş royal var. Toplam da 4 tane.

Floş ise yine bütün kağıtların aynı renkten ve sıralı olduğu eller, ama en büyük kağıt as olamaz. Burada ufak bir numara var! As en küçük kağıt olabilir. Yani 10$latex \heartsuit$-9$latex \heartsuit$-8$latex \heartsuit$-7$latex \heartsuit$-A$latex \heartsuit$ floştur. Her renkten 4 tane floş vardır, en büyük kağıt K, Q, J, ya da 10 olabilir. Dört tane de farklı renk olduğundan toplam 16 tane floş vardır.

Gelelim renk ellerini hesaplamaya. Asdan yediye kadar her renkten sekiz kağıt var. Herhangi bir rekten oluşan renk ellerinin sayısı $latex {8\choose 5} = 56$. Toplamda 4 renk olduğunu da hesaba katarak $latex {4\cdot56 = 224}$ tane el buluruz. Ancak bu eller arasında floş ve floş royaller de var. Bunları çıkarınca renk eli sayısı: $latex 224-16-4=204$.

Son olarak kent ellerinin sayısını hesaplayalım. Kağıtların rengini dikkate almaksızın en büyük kağıdı A, K, Q, J ya da 10 olabilen sıralı elleri hesaplayalım. Bu eller arasında floş ve floş royal elleri de var. Ama bunların sayılarını hesapladık. Bulduğumuz sayıdan çıkarınca elimizde kent ellerinin sayısı kalacak. En büyük kağıdı as olanların sayısını hesaplayalım. Sıralama AKQJ-10 olmak zorunda. Renk ayrımı yapmadığımızdan her kağıt için dört seçenek var. Yani $latex 4^5=1,024$ tane asla başlayan sıralı eli var. As yerine 4 seçeneğimiz daha var. Yani sıralı ellerın sayısı $latex 5\cdot 1,024 = 5,120$. Floş ve Floş royal ellerini çıkarırsak kent eli sayısı: $latex 5,120-16-4 = 5,100$.

Çöp ellerin sayısını hesaplamadık. Ancak hesaplaması oldukça kolaydır. 32 kağıttan kaç farklı 5 kağıtlık el çıktığını hesapladıktan sonra bu sayıdan yukarıdaki değerli ellerin sayısını çıkararak bulunur. Olasılığını hesaplamak istediğiniz el içinse elin sayısını toplam 5 kağıtlık el sayısına bölmek size bir üzerinden olasılığı verir. Bu sayıyı 100, veya 1000 ile çarparak 100 elde ya da 1000 elde ne kadar sık beklenmesi gerektiğini bulabilirsiniz. Bu temel hesapları okura bırakıyorum.

Kaynaklar