MAKALE

Yayın Tarihi: 7 Eki 2014 | Uğur Efem

0

ASALLARIN SONSUZLUĞU ÜZERİNE NOTLAR

Asal sayıların sonsuzluğunun bilinen ilk kanıtı Öklid’e atfedilir (bkz. “elemanlar” Prop. XX kitap IX [3]). Teoremin kanıtında yaygın olarak kullanılan argüman Öklid’in orjinal argümanı değil, oldukça yakın bir versiyonudur. Teoremi ve yaygın kanıtını daha önce Açık Bilim’de yazmıştım, tekrar etmekte fayda var. Bu sefer Öklid’in orjinal argümanını da -modern terminoloji ile- verelim (bkz.[4]).

Teorem: Sonsuz miktarda asal sayı vardır.

Euclid, Jusepe de Ribera, 1630-1635

Euclid, Jusepe de Ribera, 1630-1635

Kanıt: [popüler argüman] Diyelim asal sayılar sonlu, p_1,...,p_n olarak adlandıralım. Şimdi, N sayısı bu asalların çarpımının bir fazlası olsun, başka bir deyişle N = (p_1\cdots p_n)+1. N sayısının p_1,...,p_n asallarının hepsinden farklı olduğu bariz. Ama bütün asalların bunlar olduğunu varsaydık. O zaman N sayısı bileşik sayı olmalı. Demek ki bu asallardan birisi N’yi bölmek zorunda. Öteki taraftan, N’nin p_1,...,p_n sayılarından herhangi birine bölümünden kalan 1. Öyleyse bu listede olmayan başka asallar olmalı.

[orjinal argüman] Diyelim ki  p_1,...,p_k herhangi asal sayılar olsun. P sayısı çarpımlarının bir fazlası olsun, yani P=(p_1\cdots p_k) + 1. Öyleyse P sayısı ya asaldır, ya da bir p asal sayısına bölünür. Ama p asalı p_1,...,p_k asallarından birisi olamaz. Eğer olsaydı, p hem p_1\cdots p_k sayısını hem de P’yi böleceğinden farklarını da bölmesi gerekirdi; yani 1’i bölmesi gerekirdi. Yani verilen herhangi sonlu asal için, onlardan farklı bir asal sayı her zaman bulunabilir.

İlk kanıt ile orjinal argüman arasında fikir olarak pek bir fark yok. En önemli fark ilk kanıta başlarken bütün asalları sıraladığımızı varsaymamız. Dolayısıyla hiçbirini eksik bırakmamış olduğumuz varsayımı ile yola çıkıyoruz. Ve nihayetinde bir çelişkiye varıyoruz. İkinci kanıtta ise sonlu sayıda asal sayıdan oluşan rasgele bir küme aldık ve bu kümede olmayan yeni bir asal sayı bulmanın yolunu tarif ettik. Yani başlarken elimizdeki listenin bütün asalları listelediği iddiasında değiliz, dolayısıyla varabileceğimiz bir çelişki de yok.

Birinci kanıtta ilk bakışta sıklıkla yapılan bir hata N sayısının yeni bir asal olduğunu düşünmektir. Çünkü p_1,...,p_n olarak listelediğimiz ve bütün asal sayılar olduğunu kabul ettiğimiz sayıların hiçbiri N’yi bölmez! Ama kanıtın sonunda bu varsayımın hatalı olduğunu görüyoruz, demek ki N sayısının yeni bir asal olması gerektiği gözlemi, hatalı bir varsayıma dayanıyor. Öyleyse bu gözlem de doğru olmamalı. Doğru olmadığını görmek de zor değildir. N sayısını ilk birkaç asal için hesaplayalım.

N=(2\cdot3) + 1 = 7 \\  N= (2\cdot 3 \cdot 5) +1 = 31 \\  N= (2\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7) +1 = 211 \\  N = (2\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11) +1 = 2311 \\  N= (2\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13) +1 = 30031 = 59\cdot 509

Yukarıdaki listede son satıra kadar N sayısı hep yeni bir asal sayı oluyor, ancak son satırda 30031 sayısı asal değil!

Hatta bu hatanın oldukça komik bir sonucu da ikiz asallar sanısını kanıtlaması. Varsayalım ilk kanıttaki N = (p_1\cdots p_n) +1 sayısı hep bir asal sayı oluyor. İlk kanıtaki argümanın N yerine N^\prime = (p_1\cdots p_n) - 1 sayısı ile de doğru olduğuna dikkatinizi çekerim. O zaman N hep asalsa N^\prime de hep asal olmalı. Öylesyse sonsuz sayıda ikiz asal çifti vardır! Elbette söylediğim seblerden dolayı hatalı bir argüman.

İlk kanıtla ilgili -bu sefer doğru- bir başka gözlem, N sayısını bölmesi gereken, bizim listemizde olmayan yeni asal sayı hep listemizdekilerinden büyük olmalı. Yukarıda verdiğimiz örneklerden de bunu görmek zor değil. Bu gözlemin doğru olmasını sağlayan, ilk kanıtta asalları hep ardışık ve hep en küçük asaldan itibaren listelediğimizi varsaymamız!

İkinci kanıtta ise listelediğimiz sonlu sayıda asal hakkında böyle varsayım yok; yani ardışık olmayabilirler, hatta en küçük asaldan başlamamız da gerekli değil. Kanıta göre bu koşullarda bile yeni asal sayılar bulabiliyoruz. Ancak bu durumda yukarıda yaptığımız gözlem artık geçerli değil! Yeni bulduğumuz asallar, yani P’yi bölmesi gereken asallar, listemizdeki asallardan büyük olmak zorunda değil. Bir kaç örneğe bakalım.

Diyelim p_1 = 2 ve p_2 = 3 ile başladık. Bu durumda P = (2\cdot 3) +1 = 7. Yeni bir asal bulduk. Öklid’in argümanına göre, p_1=2, p_2 = 3, ve p_3 = 7 durumuna bakabiliriz, ve P= (2\cdot 3 \cdot 7) +1 = 43. Şimdiye kadarki hesaplarımız ilk gözlemimizle uyumlu. P’nin bölenleri, hep başladığımız listediklerden büyük çıktı.

Bir adım daha gidelim, p_1=2, p_2=3, p_3=7, p_4= 43 olduğunda P= (2\cdot 3\cdot 7 \cdot 43) +1 = 1807 = 13\cdot 139.

Listemizde olmayan 13 ve 139 asallarını bulduk, ve 13 < 43. Dolayısıyla orjinal argümanı takip edersek bulduğumuz yeni asal sayı her zaman başladığımız listedekilerden büyük olmak zorunda değil.

Yukarıdaki adımdan daha fazlasını da yapabiliriz. Bulduğumuz bütün yeni asalların başladığımız listedekilerden küçük olması da mümkün. Mesela p_1=5, p_2=7 olduğunda, P=(5\cdot 7) + 1 = 36 =2^2\cdot 3^2. Yani yeni bulduğumuz asallar 2 ve 3 listemizdekilerden küçük.

Şimdiye kadar verdiğim örneklerden kolaylıkla farkedileceği üzere ilk kanıt için doğru olan gözlemin ikinci kanıtta yanlış olmasının sebebi başladığımız listede atladığımız asallar. Mesela ikinci örnekteki 13 listede olmadığı için, bulduğumuz P sayısının böleni olabildi. Bu durumun daha belirgin göründüğü bir kaç örneğe daha bakalım:

P = (2\cdot 5\cdot 7 \cdot 11)+1=3\cdot 257 \\  P = (2\cdot 3\cdot 5\cdot 11\cdot 13) +1 = 7\cdot 613\\  P=(3\cdot 5 )+1 = 16 = 2^4 \\  P= 3+1 =4=2^2.

Son olarak aşağıdaki teoremin kanıtını sizlere bırakıyorum.

Teorem: n herhangi bir doğal sayı ise, n ile n!+1 arasında (n!+1 dahil olmak üzere) bir asal sayı vardır.

Kaynaklar

[1] Cosgrave, J. B. , “A Remark on Euclid’s Proof on Infinitude of Primes”, The American Math. Monthly, Vol.96, No. 4 sayfa 339-341, Nisan 1989
[2] Hardy, M., Woodgold, C., “Prime Simplicity”, The Mathematical Inteligencer, Vol. 31, Issue 4, sayfa 44-52 Springer Science+Business Media LLC, 2009.
[3] Heath, T. L. (çevirmen ve editör), “Euclid, The Thirteen Books of the Elements”, vol. 2, Books III – IX, Dover Publications, New York, 1956.
[4] Ore, Ø., “Number Theory and Its History”, Courier Dover Publications, (1948 McGraw Hill versiyonundan tıpkı basım) sayfa 65, 1988.

Etiketler: , , , , ,


Yazar

Lisans eğitimini İstanbul Bilgi Üniversitesi Matematik Bölümü’nde, Yüksek Lisans eğitimini Sabancı Üniversitesi’nde yine Matematik Bölümü’nde tamamladı. 2011 Eylül ayından beri Oxford Üniversitesi Matematik Enstitüsü’nde doktora öğrencisi.






Yorum yapın (Facebook, Twitter gibi hesaplarınız geçerlidir.)

Back to Top ↑
  • Patreon’dayız

  • Bizi Takip Edin

  • iTunes Bağlantısı

  • Reklam Alanı

  • Destekçiler

  • E-POSTA LİSTESİ

    Yeni bir yayınımız yayımlandığında e-posta yoluyla haberdar olmak için adresinizi bu alana girin.

    Diğer 99.811 aboneye katılın

  • Hızlı Takvim

    Ekim 2014
    P S Ç P C C P
    « Eyl   Kas »
     12345
    6789101112
    13141516171819
    20212223242526
    2728293031