SONSUZLUĞU SAY(AMA)MAK

Algılarımız sonsuzluğa dair bizleri kandırır. Türkçede “sonsuza kadar” diye bir kalıp vardır. Tren rayları sonsuz‘da buluşacakmış gibi görünür. Sanki sonsuz çok uzaklarda, hiç ama hiç bir zaman ulaşamayacağımız bir yer gibi gelir. Ya da varıldığı zaman neler olacağı bilinemeyen mistik bir yer gibi. 19. yüzyılın sonlarına kadar matematikçiler arasında da sonsuz kavramı üzerinde bir anlaşma yoktu, sonsuzluk matematiksel bir kavram olarak tanımlanmamıştı. Sonsuzun matematiksel olarak tanımlanması Georg Cantor’un kümeler kuramını geliştirmesiyle beraber oldu [3, sayfa 238-239].

Sonsuzun matematikçiler tarafından nasıl algılandığına dair ipuçları veren ve günlük sonsuzluk algımıza uymayan bir kaç soruyla başlayalım:

Hilbert Oteli:

Alman matematikçi David Hilbert tarafından yaratılan bu farazi otelin amacı tam da matematiksel sonsuzun günlük sonsuzluk algımızla, sezgilerimizle uyuşmadığının altını çizmek. Hilbert Oteli sonsuz sayıda odaya sahip bir otel. Odalar doğal sayılarla numaralanmış: 0,1,2,3,4,5,…

Her odanın bir numarası var, her odanın numarası bir doğal sayı; ama odaların sonu gelmiyor. Hangi doğal sayıyı alırsanız alın, numarası o sayı olan bir oda var. Bu otele, aynı şekilde sonsuz sayıda koltuğu olan bir otobüs dolusu misafir geldiğini düşünelim. Koltuklar da doğal sayılarla numaralanmış: 0,1,2,3,4,5,… (bütün koltuklarda da bir yolcu var). Bu yolcuları otele yerleştirmekte bir zorluk yok.

Sahi, otelde kaç tane oda vardı? Sezgilerimize uymayan şey tam da bu soruda gizli. Sonsuzu bir sayı gibi düşünmek bizi yanıltıyor. Yapmamız gereken her yolcuyu bir odayla eşlemek, ve iki farklı yolcuyu aynı odayla eşlememek.

Öncelikle otobüsleri isimlendirelim, birine 0 otobüsü diğerine 1 otobüsü diyelim. Sonra da yolcuları kodlayalım.

0 otobüsünün 0 numaralı koltuğunda oturan yolcunun kodu (0,0),

0 otobüsünün 1 numaralı koltuğunda oturan yolcunun kodu (0,1),

0 otobüsünün 2 numaralı koltuğunda oturan yolcunun kodu (0,2),

Bu şekilde 0 otobüsünün bütün yolcularını kodlayalım. Genel olarak (0,n), 0  otobüsünün n numaralı koltuğunda oturan yolcunun kodu olacak. Aynı şekilde 1 otobüsündeki yolcuları da kodlayalım. (1,m), 1 otobüsünde m numaralı koltukta oturan yolcuyu kodlasın.

Şimdi yolcuları odalarına yerleştirelim. 0 otobüsündeki yolcuları kodlarındaki ikinci sayının iki katı olan doğal sayıyla numaralandırılmış odalara yerleştirelim. Yani kodu (0,0) olan yolcu 0 numaralı odaya yerleşecek, kodu (0,1) olan yolcu 2 numaralı odaya, kodu (0,2) olan yolcu 4 numaralı odaya. Genel olarak kodu (0,n) olan yolcu 2n numaralı odaya yerleşecek. 0 otobüsünün bütün yolcularını bu şekilde, her odaya tek bir yolcu düşecek şekilde yerleştirelim. 0 otobüsündeki bütün yolcular odalarına yerleştikten sonra numarası tek sayı olan bütün odaların hala boş kaldıklarına dikkatinizi çekerim. Tahmin ettiğiniz üzere 1 otobüsündeki yolcuları da tek sayılarlarla numaralanmış odalara yerleştireceğiz. Genel olarak kodu (1,m) olan yolcu 2m+1 numaralı odaya yerleşecek. Böylece her odada bir yolcu olacak şekilde bütün yolcuları yerleştirdik.

Soruyu daha da zorlaştıralım. Bu şekilde üç otobüs yolcu geldiğini düşünelim. Yolcuları otele hala her odada tek bir yolcu olacak şekilde yerleştirebilir miyiz? Cevap yine evet. Aynı şekilde bütün yolcuları kodlayalım. Bu sefer bir otobüs daha var, ona da 2 otobüsü diyelim. 2 otobüsünün yolcularını da ayın şekilde kodlayalım. Genel olarak (2,k) 2 otobüsünde k numaralı koltukta oturan yolcunun kodu olacak. Şimdi gelelim yerleştirmeye:

0 otobüsün yolcularını kodlarındaki ikinci sayının üç katı olan odalara yerleştirelim. Yani (0,n) kodlu yolcu 3n numaralı odaya yerleşsin. 0 otobüsündeki herkes yerleştiğinde sadece 3’e bölünebilen sayılarla numaralanmış odalar doldu. 1 otobüsünün yolcularını şöyle yerleştirelim: kodu (1,m) olan yolcu 3m+1 numaralı odaya yerleşsin. Yani 1 otobüsünün yolcularını da 3’e bölümünden 1 kalan sayılarla numaralı odalara yerleştirdik. 2 otobüsünü de elbette 3’e bölümünden 2 kalan sayılarla numaralanmış odalara yerleştireceğiz. Kodu (2,k) olan yolcu 3k+2 numaralı odaya yerleşecek. Yine bütün yolcuları her odada bir kişi olacak şekilde, kimseyi açıkta bırakmadan yerleştirdik.

Üçte durmaya gerek yok. Bütün doğal sayılar için açıkça aynı yöntemi kullanabiliriz.

Sayılabilir ve Sayılamaz Sonsuzluk:

Biraz daha matematiksel sorularla devam edelim. Doğal sayılar N = {0,1,2,3,…} ve tamsayılar…

Z = {…, -3,-2,-1,0,1,2,3,…} kümelerine bakalım. Hangisinin daha çok elemanı vardır? Tıpkı Hilbert Oteli’nde olduğu gibi ilk bakışta Z‘nin daha çok elemanı var gibi görünüyor. N‘deki her elemana karşılık Z‘de iki eleman var gibi. Benzer bir argümanla Z ve N‘nin aynı miktarda eleman içerdiğini göstereceğiz. Biraz daha matematiksel olmak gerekirse Z‘nin elemanlarını N‘nin elemanlarına götüren, ve hiç bir doğal sayıyı açıkta bırakmayan (örten) ve farklı iki tamsayıyı farklı doğal sayılara götüren (birebir) bir f fonksiyonu bulacağız. Bulduğumuz f fonksiyonu Z‘nin ve N‘nin elemanlarını birebir ve örten olarak eşleştirdiğinden aynı miktarda elemanları olacak.

Fonksiyonumuzu önce 0 ve pozitif sayılarda tanımlayalım, n pozitif bir tamsayı veya 0 ise f(n) = 2n olsun. Yani f fonksiyonu 0 ve pozitif sayıları iki katlarına götürüyor. Negatif sayılarda da şöyle tanımlayacağız: n yine pozitif  bir tamsayı ise f(-n) = 2n – 1 olsun. Yani negatif sayılar da tek sayılarla eşleştiler. Tanımladığımız f fonksiyonunun birebir ve örten olduğu açık. Dolayısıyla doğal sayıları tam sayılarla birebir ve örten olacak şekilde eşledik. Demek ki Z ve N kümeleri aynı miktarda eleman içeriyor.

Yine burada durmaya gerek yok 2N = {0,2,4,6,8,…}, 3N = {0,3,6,9,12,…} ve daha genel olarak nN = {0,n,2n,3n,4n,…} (n bir doğal sayı) kümeleri ve N arasında birebir ve örten bir fonksiyon bulunabilir. Yani bu kümeler de N ile aynı miktarda eleman içerirler.

Daha da ileri gidelim. Rasyonel sayılar kümesi Q‘ya bakalım. Q‘nun elemanları a ve b ortak böleni olmayan (aralarında asal) tam sayılar ve b sıfırdan faklı olmak üzere a/b kesirleri. Aynı soruyu soralım, Q‘nun mu yoksa N‘nin mi daha çok elemanı vardır? Bu kadar da olmaz Q‘nun daha çok elemanı olmalı herhalde. Ama işin aslı hiç de öyle değil. Yine bu iki küme arasında birebir ve örten bir fonksiyon bulmak mümkün. Yani Q‘nun ve N‘nin aynı miktarda elemanı var yine. Bu sefer söz konusu fonksiyon biraz daha zor. Fonksiyonu açık açık yazmak için uzunca bir hesap yapmak lazım, hesaptan kaçmak istersek bir kaç tane teknik teoreme ihtiyacımız var [3, Teorem 14.6 veya Teorem 14.10 veya 12. Bölüm, sayfa 232].

Hesapta ve detaylarda boğulmadan, sezgisel olarak da olsa ikna etmeye çalışayım. Rasyonel sayılar, a ve b aralarında asal tam sayılar olacak şekilde  kesirleri demiştim, a ve b aralarında asal olmasalar da rasyonel sayı olarak düşünebiliriz. Mesela “1/2 = 2/4” gibi. Bu eşitlikleri gözardı ederek aşağıdaki resimdeki okları takip ederek Q ile N‘yi eşleyebiliriz.

Yani fonksiyonumuz 1/1’i 1’e, 2/1’i 2’ye, 1/2’yi 3’e, 1/3’ü 4’e götürüyor. Diğer elemanlarında nereye gittiğini görmek için okları sırasıyla takip etmek yeterli.

N ile arasında birebir ve örten bir fonksiyon bulanabilen bir X kümesinin eleman miktarı için sayılabilir sonsuzlukta denir ya da X kümesi sayılabilir denir.

 İşi biraz daha ileri götürelim reel sayılar kümesi R‘ye bakalım. R sayılabilir bir küme midir? Soruyu görür görmez içinizden yok artık bu kadarı da fazla demek gelmiş demek olmalı. Ama bir önceki örnekten dolayı içinizde bir taraftan da küçük de olsa bir şüphe var.

 Ama bu sefer bu işin olamayacağını düşünmekte haklısınız, bu kadarı gerçekten de fazla. R sayılabilir bir küme değildir. Böyle kümelere, yani N ile arasında birebir ve örten bir fonksiyon olmayan kümelere, sayılamaz denir veya sayılamaz sonsuzlukta elemanı var denir. Şimdi R‘nin sayılamaz olduğunu göstereceğiz. Daha doğrusu sadece (0,1) aralığının sayılamaz sonsuzlukta eleman içerdiğini göstersek yeterli. Öncelikle bu aralıktaki sayıların 0.1415926535… gibi ondalık uzantılı şekilde yazılabileceğini hatırlayalım. Varsayalım ki (0,1) aralığında sayılabilir sonsuzlukta sayı var, yani  bu aralığı N kümesi ile birebir ve örten olacak şekilde eşleyebiliyoruz. Başka bir ifade ile, bu aralıktaki sayıları belli bir sıralamayla listeleyebiliriz. Mesela, ilk birkaç elemanı yazdığımız, şu şekilde sıraladık:

Şimdi ilk satırda noktadan sonraki ilk sayıyı, ikinci satırda ikinci sayıyı, üçüncü satırda üçüncüyü, genel olarak n’inci satırda noktadan sonraki n’inci sayıyı alarak yeni bir sayı yazalım. Bizim durumumuzda sayımız şöyle başlayacak. 0.134373… Şimdi bu yeni elde ettiğimiz sayıda noktadan sonraki her sayıya bir ekleyelim ve 0.245484… sayısını elde edelim (karşılaşmadık ama noktadan sonra 9 gelirse, bir eklediğimizde 10 yerine 0 yazacağız). Bu sayı yukarıdaki listedeki bütün sayılardan farklıdır. Bu sayı listedeki ilk sayı olamaz çünkü listedeki ilk sayı noktadan sonra 1 ile başlıyor, oysa bizim sayımız 2 ile başlıyor. Bu sayı listedeki ikinci sayı da olamaz çünkü listedeki ikinci sayının noktadan sonraki ikinci basamağı 3, oysa bizim sayımızın noktadan sonraki ikinci basamağı 4. Bu sayı listedeki üçüncü sayı da olamaz çünkü listedeki üçüncü sayının noktadan sonraki üçüncü basamağı 4, oysa bizim sayımızın noktadan sonraki üçüncü basamağı 5. Sürekli böyle devam edersek bu yeni yazdığımız sayının yukarıdaki listede hiçbir zaman beliremeyeceğini görürüz. Oysa bu sayı bariz bir şekilde (0,1) aralığında! Bir çelişki elde ettik. Yani (0,1) aralığı iddia ettiğimiz gibi sayılabilir olamaz.

Yukarıdaki listede sıralamayı tamamen rastgele verdiğimize okuyucunun dikkatini çekerim. Başka şekilde sıralasak yine aynı argümanı kullanabiliriz. Bu argüman ilk defa Georg Cantor tarafından sayılamaz kümeler oluşturmak için kullanılmıştır. Bu sebeple Cantor diyagonal argümanı olarak bilinir.

Demek ki matematiksel olarak sonsuzluk (ne olduğunu hala tanımlamamış olsak da) günlük hayatta algıladığımızdan oldukça farklı. Şimdiye kadar bahsettiğimiz sonsuzluk, kümelerin ne kadar çok eleman içerdikleriyle ilgili bir kavram. Yukarıdaki örneklerden gördüğümüz üzere sonsuzluğun dereceleri var. Sayılabilir ve sayılamaz sonsuzluktan bahsettik. Sayılamaz sonsuzluk sanki algısal olarak “daha bir sonsuz”. Resmi biraz daha dramatikleştirmek mümkün.

X herhangi bir sonsuz küme olsun, P(X) de X’in alt kümelerinin kümesi. P(X)’e X’in kuvvet kümesi denir. X’den P(X) giden örten bir fonksiyon olamaz. X’den P(X)’e giden herhangi bir f fonksiyonu alalım. X’in öyle bir alt kümesini bulmamız lazım ki f altında X’in hiçbir elemanı bu kümeye gitmesin. Şu kümeye bakalım: A= { x∈X : x∉f(x)}. Bu durumda f fonksiyonu X’in hiç bir elemanını A kümesine götüremez. Götürdüğünü varsayalım, diyelim A kümesinin öyle bir a elemanı var ki, f(a) =  A. O zaman a elemanı f(a) kümesinin bir elemanı olamaz. Dolayısıyla A’nın tanımı gereği A kümesi a’yı içermeli. Ama f(a) = A olduğunundan A kümesi a’yı içeremez. Bir çelişki elde ettil. Dolayısıyla böyle bir a elemanı olamaz. Öyleyse P(X)’in X’den daha fazla elemanı var. 

Reel sayılar kümesi R‘ye geri dönelim. Bu kümenin sayılamaz olduğunu gösterdik. Ama yukarıdaki argümandan dolayı P(R)’nin R‘den daha fazla elemanı var. Demek ki P(R), R‘den “daha sayılamaz”.

P(R)’nin sayılamazlığı bir üst seviyede. Genel olarak herhangi bir sonsuz X kümesi sabitlesek, ve kuvvet kümesini alsak, sonra kuvvet kümesinin kuvvet kümesini alsak, ve sürekli böyle devam etsek her adımda elde edeceğimiz küme bir öncekinden “daha sonsuz” ve hatta “daha sayılamaz” olacak. Demek ki sonsuzluğun çok daha fazla derecesi var. X,P(X),P(P(X)),P(P(P(X))),… gibi. Neredeyse kendi içinde bir hiyerarşiye sahip birçok çeşit sonsuzluk var!

Durum gerçekten de tam olarak böyle. İşte bu sonsuzluğun derecelerini, ve kendi içinde hiyerarşiye sahip birçok çeşit sonsuzluk olabileceğini ilk farkeden Georg Cantor. Bu sonsuzluklar kümeler kuramının nesneleri; kümeler kuramında bu nesnelere Cantor’un sonsuz sayıları, ya da Cantor’un sonlu ötesi sayıları denir. Daha da matematiksel terminolojiyle kardinal sayılar denir. Kardinal sayılar bir çok anlamda doğal sayılara benzer. Kardinalleri de doğal sayılardakine benzer şekilde toplamak, çarpmak mümkündür. Ama kardinal sayıların aritmetiğini tanımlamak için biraz daha teknik kümeler kuramı ve özellikle birebir ve örten fonksiyonlarla bolca haşır neşir olmak gerekir.

Meraklısına Sorular:

1)    Sonsuz sayıda yolcu içeren 2 hatta 3 otobüsün yolcularını sonsuz sayıda odası olan bir otele yetleştirdik. Yerleştirme işlemini başka şekillerde de yapabilir misiniz? 2 otobüsün bütün yolcularını yerleştirdiğinizde otelde hala sonsuz sayıda boş odanın kalacağı bir yöntem var mı? Bu yöntem n tane otobüse genellenebilir mi? Peki ya sonsuz otobüs gelirse, hala bütün yolcuları yerleştirebilir misiniz?

2)    Sonlu 01-dizilerinin (uzunluğu sonlu bir doğal sayı olan, ve 0 ve 1’den oluşan diziler) kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlayın.

3)   Reel sayıların sayılamaz olduğunu gösterirken 9′a bir ekleyip 10 yerine neden 0 yazdık?

4)    (0,1) aralığının sayılamaz olduğunu bu aralıktaki sayıları ikilik tabanda yazarak Cantor diyagonal metoduyla yeniden gösterin.

Kaynakça:

1)      P. Halmos, “Naive Set Theory”, Springer – Verlag, New York, 1974.

2)    T. Jech, “Set Theory: The third millenium edittion”, Springer, 2003.

3)    A. Nesin “Sezgisel Kümeler Kuramı”, 4. Basım, Nesin Yayınevi, İstanbul, 2010.

4)    A. Nesin “Matematik ve Develerle Eşekler”, Nesin Yayınevi, İstanbul, 2008.

Uğur Efem / Oxford Üniversitesi

Lisans eğitimini İstanbul Bilgi Üniversitesi Matematik Bölümü’nde, Yüksek Lisans eğitimini Sabancı Üniversitesi’nde yine Matematik Bölümü’nde tamamladı. 2011 Eylül ayından beri Oxford Üniversitesi Matematik Enstitüsü’nde doktora öğrencisi.